Remise à niveau en mathématiques

         

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Remise à niveau en mathématiques

Fiche de cours n°5

LES FRACTIONS

I. Écriture fractionnaire

Une fraction est un nombre qui s’écrit de la manière suivante :

 Description : http://www.ilemaths.net/img/maths/6/maths_6-fractions-cours_02.gif

avec a et b deux entiers et b non nul.

 C’est le quotient de a par b, c'est-à-dire : Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7ba%7d%7bb%7d= a ÷ b.

 Exemple :

231,3 = 231 + Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b3%7d%7b10%7d%20=%20\frac%7b2\,313%7d%7b10%7d

234 = 234 ÷ 1 = Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b234%7d%7b1%7d

 Remarque :

Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b2,34%7d%7b4%7dest une écriture fractionnaire, mais ce n’est pas une fraction.

 Lecture :

·         Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b1%7d%7b2%7d se lit « un demi ». Ainsi Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b5%7d%7b2%7d se lit « cinq demis ».

·         Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b1%7d%7b3%7d se lit « un tiers ». Ainsi Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b2%7d%7b3%7d se lit « deux tiers ».

·         Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b1%7d%7b4%7d se lit « un quart ». Ainsi Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b3%7d%7b4%7d se lit « trois quarts ».

Les autres nombres se lisent tous de la même manière que celui-ci : Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b6%7d%7b7%7dse lit « six septièmes ».

Description : http://www.ilemaths.net/img/ico/error.gif    Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b2,3%7d%7b5%7d se lit « deux virgule trois sur cinq ».

 

II. Simplification

Simplifier une fraction, c’est rendre le numérateur et le dénominateur les plus petits possibles.

Plusieurs écritures d’une même fraction

Une fraction ne change pas si on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Exemples :

Description : http://www.ilemaths.net/img/maths/6/maths_6-fractions-cours_03.gif

 

Comment rendre une fraction irréductible?

·         Décomposer le numérateur et le dénominateur en une multiplication de nombres premiers.

·         Simplifier en enlevant les nombres qui sont en commun au numérateur et au dénominateur.

Description : http://maths.en.ligne.free.fr/calculnum/images/fraction1.gif

  

Règles de divisibilité :

 

Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (en fait tous ceux qui se termine par 0,2,4,6,8 sont divisibles par 2). Par conséquent on pourra écrire ce nombre sous la forme d'une multiplication par 2.

·         24 se termine par 4 donc 24 est pair et on peut écrire 24 = 2 x 12.

·         23 n'est pas pair, donc ce n'est pas un multiple de 2.

 

Un nombre est divisible par 3, si la somme de ces chiffres est un multiple de 3.

·         57 est divisible par 3 car 5+7=12; 12 c'est 1+2=3 : c'est bien un multiple de 3. Donc 57 = 3 x 19.

·         121 n'est pas divisible par 3 car 121 c'est 1+2+1=4 et ce n'est pas un multiple de 3.

 

Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.

·         65 est divisible par 5 car le nombre se termine par 5 donc 65 = 5 x 13.

·         64 n'est pas divisible car il ne se termine ni par 0 ni par 5.

 

Et pour les autres ? Il suffit d'utiliser sa calculatrice. Si on veut savoir si un nombre est divisible par a (un entier). Je tape sur ma calculatrice le nombre divisé par a et j'obtiens un autre nombre entier (sans virgule).

·         147 est divisible par 7 car 147 / 7=21 donc 147 = 7 x 21.

·         363 est divisible par 11 car 363 / 11=33  d'où 363 = 11 x 33.

 

III. Opérations

 1. Somme et différence de fractions

Si les nombres en écriture fractionnaire ont des dénominateurs multiples l'un de l'autre, alors on les réduit au même dénominateur puis on les additionne ou on les soustrait :

- on ajoute ou on soustrait les numérateurs

- et on garde le dénominateur commun.

Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7ba%7d%7bc%7d%20+%20\frac%7bb%7d%7bc%7d%20=%20\frac%7ba%20+%20b%7d%7bc%7d                              Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7ba%7d%7bc%7d%20-%20\frac%7bb%7d%7bc%7d%20=%20\frac%7ba%20-%20b%7d%7bc%7d

 Exemples :

Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b3%7d%7b7%7d%20+%20\frac%7b10%7d%7b7%7d%20=%20\frac%7b3%20+%2010%7d%7b7%7d%20=%20\frac%7b13%7d%7b7%7d

Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b15%7d%7b11%7d%20-%20\frac%7b7%7d%7b11%7d%20=%20\frac%7b15%20-%207%7d%7b11%7d%20=%20\frac%7b8%7d%7b11%7d

  

2. Produit de fractions

Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7ba%7d%7bb%7d%20\times%20\frac%7bc%7d%7bd%7d%20=%20\frac%7ba%20\times%20c%7d%7bb%20\times%20d%7d

Exemple :

Description : http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\normalsize%20\frac%7b3%7d%7b7%7d%20\times%20\frac%7b5%7d%7b4%7d%20=%20\frac%7b3%20\times%205%7d%7b7%20\times%204%7d%20=%20\frac%7b15%7d%7b28%7d

 Remarque : si possible, on simplifie avant d'effectuer les multiplications.

 

3. Division de fractions

Pour calculer le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde fraction.

Exemple :

 

 

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